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      <span class="sider-title">章节索引</span>
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  <nz-content class="content-main" #contentMain>
    <div class="content-title">
      <h1>第三章 向量组</h1>
    </div>

    <section id="section1" class="content-section">
      <div class="text-content">
        <p class="text-subtitle">
          向量与向量组的线性相关性
        </p>
        <p class="text-subsubtitle">
          向量
        </p>
        <p>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;有了前面行列式和矩阵这两个话题的铺垫, 可以让线性代数的主人翁——向量出场了.前面指出, 矩阵中的若干个行(列)都是向量, 它们之间存在着某种联系, 这种联系说到底就是线性无关的向量个数(独立信息的个数)的问题, 也就是在若干个向量组成的向量组中,
          其中的某几个就足够代表这个向量组了, 其他的向量都可以由这几个向量线性表示出来.举个例子, 有这样一个矩阵
          <app-formula formulaId="vector-group" [displayMode]="true"></app-formula>
        </p>
        <p>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;把这些列定义为列向量, 这一组向量<app-formula formulaString="a_{1},a_{2},a_{3}"></app-formula>称为向量组.
          向量组[1,2,3],[6,7,9]与[2,4,6]是矩阵的三个成员, 可是向量[2,4,6]可以由向量[1,2,3] 的2倍来表示, 于是向量[2,4,6]就是“多余”的, 不是独立的信息.
        </p>
        <p class="text-question">向量研究什么?</p>
        <p class="text-answer">
          要用相应的运算, 研究数据和数据之间的关系, 也就是研究向量和向量之间的关系.
          在行列式的运算中, 用初等变换, 把一个行列式|A|化成“12+1”型行列式.
        </p>
        <p class="text-question">在向量中, 第一个要研究什么?</p>
        <p class="text-answer">
          要研究向量和向量之间能否线性表示.<br>
          从专业的角度来讲, 一个向量a如果在另一个向量β张成的空间上, a就可以被β线性表示; 如果不在, a就不可以被β线性表示.<br>
          因此, 首要任务是在一个矩阵或一个向量组中, 找到这个向量组里所有能够表达其他向量的向量, 然后剔除掉那些多余的向量.
        </p>
        <p>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;所以, 我们可以找到在一个向量组中, 能够代表该向量组里所有成员的一组向量, 比如示例的向量组的<app-formula formulaString="[1,2,3]^{T}和[6,7,9]^{T}"></app-formula>.<span class="text-content-bold">
          把它们组成的向量组叫作原向量组的极大线性无关组, 这个向量组就是原向量组的“代表”.</span>往后会发现, 这个“代表”中的向量的个数对于同一个向量组来说, 是唯一的.事实上, “代表”中向量的个数就是独立信息的个数, 这个个数叫作向量组的秩.秩就是独立信息的个数, 就是“代表”中这几个独立信息就足够表示所有的信息了.
          因此, <span class="text-content-bold">这个空间的维数, 也就是剩下向量的个数, 即这个空间是几维的, 这个维数就是秩.</span>
          a₁,a₂ 张成的空间就是我们讲的n维空间的一个子空间, 或者是2维空间本身.那么这样长一个空间表达的就是我们的最简向量组, 称其为极大线性无关组,
          极大线性无关组是向量组的“代表”, 而矩阵是由向量组拼成的.<span class="text-content-bold">所以矩阵的秩、向量组的秩都反映了“代表”中向量的个数, 本质完全相同.</span>
        </p>
        <p class="text-subsubtitle">
          向量与向量组的线性相关性
        </p>
        <p class="text-theorem">
          <span class="text-content-bold">n维向量</span><br>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;n个数构成的一个有序数组<app-formula formulaString="[a_{1},a_{2},…,a_{n}]"></app-formula>称为一个n维向量, 记成<app-formula formulaString="a = [a_{1},a_{2},…,a_{n}]"></app-formula>
          并称a为n维行向量, <app-formula formulaString="a^{T} = [a_{1},a_{2},…,a_{n}]^{T}"></app-formula>称为n维列向量, 其中a,称为向量<app-formula formulaString="a或a^{T}"></app-formula>的第i个分量.
        </p>
        <p>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;我们在研究2维、3维向量时, 用空间的思想很好理解, 而扩大到n维时我们很难去理解, 但有这样的一个式子：</p>
        <app-formula formulaId="cos-theta" [displayMode]="true"></app-formula>
        <p>其中<app-formula formulaString="a=[a_{1},a_{2},…,a_{n}],β=[b_{1},b_{2},…,b_{n}]"></app-formula> , 则</p>
        <app-formula formulaId="inner-product-and-norm" [displayMode]="true"></app-formula>
        <p class="text-theorem">
          向量的内积<br>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;设<app-formula formulaString="a=[a_{1},a_{2},…,a_{n}],β=[b_{1},b_{2},…,b_{n}]"></app-formula> , 则
          <app-formula formulaId="inner-product-sum" [displayMode]="true"></app-formula>
          为这两个向量的内积.
        </p>
        <p class="text-theorem">
          向量的正交<br>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;当<app-formula formulaString="a_{T}β = 0"></app-formula> 时, 则
          称向量a, β是正交向量.引申出若向量组<app-formula formulaString="a_{1},a_{2}…,a_{n}"></app-formula>满足
          <app-formula formulaId="orthonormal-definition" [displayMode]="true"></app-formula>
          则称<app-formula formulaString="a_{1},a_{2}…,a_{n}"></app-formula>为标准或单位正交向量组, 也叫规范正交基.
        </p>
        <p class="text-theorem">
          正交矩阵<br>
          <app-formula formulaId="orthogonal-matrix-definition" [displayMode]="true"></app-formula>
        </p>
        <p class="text-theorem">
          向量组的线性表示与线性相关的概念<br>
          <span class="text-theorem-title">线性组合</span>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;设有m个n维向量<app-formula formulaString="a_{1},a_{2}…,a_{m}"></app-formula>及m个数<app-formula formulaString="k_{1},k_{2}…,k_{m}"></app-formula>,则向量
          <app-formula formulaString="k_{1}a_{1},k_{2}a_{2}…,k_{m}a_{m}"></app-formula>称为向量组a₁,a₂,…,am的线性组合.
          <span class="text-theorem-title">线性表示</span>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;若向量β能表示成向量组<app-formula formulaString="a_{1},a_{2}…,a_{m}"></app-formula>的线性组合, 即存在m个数<app-formula formulaString="k_{1},k_{2}…,k_{m}"></app-formula>,
          使得<app-formula formulaString="β = k_{1}a_{1},k_{2}a_{2}…,k_{m}a_{m}"></app-formula>
          则称向量β能被向量组<app-formula formulaString="a_{1},a_{2}…,a_{m}"></app-formula>线性表示.即β就在由<app-formula formulaString="a_{1},a_{2}…,a_{m}"></app-formula>张成的空间中.
          <span class="text-theorem-title">线性相关</span>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;设有m个n维向量<app-formula formulaString="a_{1},a_{2}…,a_{m}"></app-formula>, 若存在一组不全为零的数<app-formula formulaString="k_{1},k_{2}…,k_{m}"></app-formula>,
          使得<app-formula formulaString="k_{1}a_{1},k_{2}a_{2}…,k_{m}a_{m} = 0"></app-formula>,
          则称向量组<app-formula formulaString="a_{1},a_{2}…,a_{m}"></app-formula>线性相关, 反之则线性无关。
        </p>
        <p class="text-theorem">
          判别线性相关性的七大定理<br>
          <span class="text-theorem-title">定理一</span>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;向量组<app-formula formulaString="a_{1},a_{2}…,a_{n}"></app-formula>(n≥2)线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余的n-1个向量线性表示.<br>
          <span class="text-theorem-title">定理二</span>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;若向量组<app-formula formulaString="a_{1},a_{2}…,a_{n}"></app-formula> 线性无关, 而<app-formula formulaString="β,a_{1},a_{2}…,a_{n}"></app-formula> 线性相关,
          则β可由<app-formula formulaString="a_{1},a_{2}…,a_{n}"></app-formula> 线性表示, 且表示法唯一.<br>
          <span class="text-theorem-title">定理三</span>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;如果向量组<app-formula formulaString="β_{1},β_{2}…,β_{t}"></app-formula> 可由向量组<app-formula formulaString="a_{1},a_{2}…,a_{s}"></app-formula> 线性表示,
          且t>s, 则<app-formula formulaString="β_{1},β_{2}…,β_{t}"></app-formula> 线性相关(以少表多, 多的相关).<br>
          <span class="text-theorem-title">定理四</span>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;设m个n维向量<app-formula formulaString="a_{1},a_{2}…,a_{m}"></app-formula> 其中
          <app-formula formulaId="column-vectors" [displayMode]="true"></app-formula>
          则向量组<app-formula formulaString="a_{1},a_{2}…,a_{m}"></app-formula> 线性相关等价于齐次方程组
          <app-formula formulaId="linear-combination-zero" [displayMode]="false"></app-formula>
          有非零解。
          <br>
          <span class="text-theorem-title">定理五</span>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
          向量β可由向量组<app-formula formulaString="a_{1},a_{2}…,a_{s}"></app-formula> 线性表示;<br>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;非线性齐次方程组<app-formula formulaId="linear-combination-beta" [displayMode]="false"></app-formula> 有解;<br>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<app-formula formulaString="r(a_{1},a_{2}…,a_{s}) = r(a_{1},a_{2}…,a_{s},β)"></app-formula>(系数矩阵 = 增广矩阵)<br>这三个命题等价.
          <br>
          <span class="text-theorem-title">定理六</span>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;如果向量组<app-formula formulaString="a_{1},a_{2}…,a_{m}"></app-formula> 中有一部分向量线性相关, 则整个向量组也线性相关.<br>
          <span class="text-theorem-title">定理七</span>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
          如果一组n维向量<app-formula formulaString="a_{1},a_{2}…,a_{n}"></app-formula> 线性无关, 那么把这些向量各任意添加m个分量所得到的新向量(n+m维)组<app-formula formulaString="a_{1}^{*},a_{2}^{*}…,a_{s}^{*}"></app-formula>
          也是线性无关的.
        </p>
      </div>
    </section>
    <section id="section2" class="content-section">
      <div class="text-content">
        <p class="text-subtitle">
          极大线性无关组与向量组的秩
        </p>
        <div>
          <p class="text-subsubtitle">
            极大线性无关组
          </p>
          <p class="text-theorem"><br>
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;在向量组<app-formula formulaString="a_{1},a_{2}…,a_{n}"></app-formula> 中, 若存在部分组<app-formula formulaString="a_{i_{1}},a_{i_{2}}…,a_{i_{r}}"></app-formula> 满足：<br>
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;①<app-formula formulaString="a_{i_{1}},a_{i_{2}}…,a_{i_{r}}"></app-formula> 线性无关, <br>
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;②向量组中任一向量<app-formula formulaString="a_{i}"></app-formula>(i=1,2,…,n)均可由<app-formula formulaString="a_{i_{1}},a_{i_{2}}…,a_{i_{r}}"></app-formula> 线性表示, <br>
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;则称<app-formula formulaString="a_{i_{1}},a_{i_{2}}…,a_{i_{r}}"></app-formula> 是原向量组的极大线性无关组.
            <i
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              nzType="info"
              nz-tooltip
              nzTooltipTitle="一组向量中, 找出“躺平”的向量, 剩下的就是我们这里的极大线性无关组.在这其中向量的“身份”可能发生转变, 即极大线性无关组不唯一."
              nzTooltipPlacement="top"
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              style="color: #f5222d; margin-left: 0; cursor: pointer;"
            ></i><br>
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;向量组的极大线性无关组一般不唯一, 只由一个零向量组成的向量组不存在极大线性无关组, 一个线性无关向量组的极大线性无关组就是该向量组本身.
          </p>
        </div>
        <div>
          <p class="text-subsubtitle">
            等价向量组
          </p>
          <p class="text-theorem"><br>
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;设两个向量组：(I)<app-formula formulaString="a_{1},a_{2}…,a_{s}"></app-formula> (Ⅱ)<app-formula formulaString="β_{1},β_{2}…,β_{t}"></app-formula> .若(I) 中每个向量a,(i=1,2,…,s)均可由(Ⅱ)中向量线性表示, 则称向量组(I)可由向量组(Ⅱ)线性表示;
            若向量组(I),(Ⅱ)可以相互线性表示, 则称向量组(I)与向量组(Ⅱ)是等价向量组, 记作(I)≌(Ⅱ).<br>
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;在学了极大线性无关组后, 去掉向量组中“躺平”的向量, 即两个向量组等价, 意味着两个向量 组的极大无关组等价.<br>
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;等价向量组满足：<br>
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;①(I)≌(I) (反身性) ;<br>
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;②若(I)≌(Ⅱ), 则(Ⅱ)≌(I) (对称性) ;<br>
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;③若(I)≌(Ⅱ), (Ⅱ)≌(Ⅲ),则(I)≌(Ⅲ)(传递性).<br>
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;向量组和它的极大线性无关组是等价向量组.
          </p>
        </div>
        <div>
          <p class="text-subsubtitle">
            向量组的秩
          </p>
          <p class="text-theorem"><br>
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
            向量组<app-formula formulaString="a_{1},a_{2}…,a_{s}"></app-formula> 的极大线性无关组<app-formula formulaString="a_{i_{1}},a_{i_{2}}…,a_{i_{r}}"></app-formula> 中所含向量的个数r称为向量组的秩，记作
            <app-formula formulaString="r(a_{1},a_{2}…,a_{s}) = r"></app-formula> .向量组中极大线性无关组张成的空间维数
          </p>
          <p class="text-subsubtitle">
            有关秩的重要定理和公式
          </p>
          <p class="text-theorem"><br>
            <span class="text-theorem-title">(1)三秩相等</span>
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;r(A)(矩阵的秩) = A的行秩(A的行向量组的秩) = A的列秩(A的列向量组的秩).<br><br>
            <span class="text-theorem-title">(2)若<app-formula formulaString="A \xrightarrow{\text{初等行变换}} B"></app-formula>,则</span>
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;①A的行向量组和B的行向量组是等价向量组; <br>
            &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;②A和B的任何相应的部分列向量组具有相同的线性相关性.
            <span class="text-theorem-title">
              (3)设<app-formula formulaString="a_{1},a_{2}…,a_{s}"></app-formula> 及<app-formula formulaString="β_{1},β_{2}…,β_{t}"></app-formula> .
              若任意一<app-formula formulaString="β_{i}"></app-formula>(i=1,2,…,t)均可由<app-formula formulaString="a_{1},a_{2}…,a_{s}"></app-formula> 线性表示，则
            </span>
            <app-formula formulaString="r(β_{1},β_{2}…,β_{t}) \leq r(a_{1},a_{2}…,a_{s})." [displayMode]="true"></app-formula>
          </p>
        </div>

      </div>
    </section>
    <section id="section3" class="content-section">
      <div class="text-content">
        <p class="text-subtitle">等价矩阵和等价向量组</p>
        <p class="text-theorem"><br>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(1)向量组等价和矩阵等价是两个不同的概念.矩阵等价, 当然行数、列数都要相等；向量组等价要同维，但向量个数可以不等.<br>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2)A,B同型时, A≌B<app-formula formulaString="\Longleftrightarrow"></app-formula>(A)=r(B)<app-formula formulaString="\Longleftrightarrow"></app-formula>PAQ=B(P,Q是可逆矩阵).<br>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(3)<app-formula formulaString="a_{i},β_{j}"></app-formula>(i=1,2,…,s;j=1,2,…,t)同维，则<br>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<app-formula formulaString="{a_{1},a_{2}…,a_{s}} ≌ {β_{1},β_{2}…,β_{t}}"></app-formula><br>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<app-formula formulaString="\Longleftrightarrow"></app-formula><app-formula formulaString="{a_{1},a_{2}…,a_{s}} 和 {β_{1},β_{2}…,β_{t}}"></app-formula> 可以相互表示<br>
          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<app-formula formulaString="\Longleftrightarrow"></app-formula><app-formula formulaString="r(a_{1},a_{2}…,a_{s}) = r(β_{1},β_{2}…,β_{t}) = r(a_{1},a_{2}…,a_{s},β_{1},β_{2}…,β_{t})"></app-formula> (三秩相同)<br>
        </p>
      </div>
    </section>
  </nz-content>
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